Controle discreto Lógica Digital

* Introdução

Álgebra Booleana

• George Boole (1815-1864)
1848: The Calculus of Logic Aplicação da matemática às operações mentais do raciocínio humano -definição da “álgebra booleana”

• Claude Shannon (1916-2001)
1938: Tese de mestrado: A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits
Aplicação da álgebra booleana ao estudo e projeto de circuitos

• Conjunto de valores:
{Falso, Verdadeiro} - raciocínio humano
{Desligado, Ligado} - circuitos de chaveamento
{0, 1} - sistema binário
{0V, +5V} - eletrônica digital

• Conjunto de Operações:
- complementação
- multiplicação lógica
- adição lógica

Operadores da Álgebra Booleana

As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)

Operadores Booleanos Fundamentais

-Operador AND (interseção)

• Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1.

Operador OR (união)

• Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1.

Operador NOT (inversor)

• Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valor lógico da referida variável.

Operadores Booleanos Secundários

Operador NAND (Não E)

• Definição: Inverte o resultado da operação AND.

Operador NOR (Não OU)
• Definição: Inverte o resultado da operação OR.

Operador XOR (OU Exclusivo)

• Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).

Operador XNOR (OU Exclusivo Inverso)

• Definição: Inverte o resultado da operação XOR.

IDENTIDADES AUXILIARES

Demonstre a seguinte identidade auxiliar

A + A . B = ?

Colocando A em evidência no 1º termo

A(1 + B) =

como 1 + B = 1

A . 1 = A

Demonstre a seguinte identidade auxiliar

(A + B) . (A + C) = ?

Aplicando distributiva no 1º termo

A.A + A.C + A.B + B.C

como A . A = A

A + A . C + A . B + B . C

Aplicando propriedade distributiva

A . (1 + B + C) + B . C

Como 1 + X = 1

A . 1 + B . C

A+B.C

Demonstre:

A + A’ . B = ?

Aplicando X’’ = X então

(A+A’.B)’’

Aplicando 2º teorema de De Morgan (X+Y)’ = X’. Y’

[A’.(A’.B)’]’

Aplicando 1º teorema de De Morgan (X.Y)’ = X’+Y’

[A’.(A’’+B’)]’

Aplicando X’’ = X então

[A’.(A+B’)]’

Distributiva

(A’.A+A’.B’)’

Aplicando A’ . A = 0 e 0 + A = A

então

(A’.B’)’

Aplicando 1º teorema de De

Morgan (X.Y)’ = X’+Y’ e A’’=A

Resultado: A+B

Simplificações

• Usando a álgebra booleana é possível simplificar expressões;

• Como cada circuito corresponde a uma expressão, simplificação de expressões significa simplificação de circuitos;

• A simplificação de expressões pode ser feita por:

• Fatoração;

• Mapas de Veitch-Karnaught;

• Método de Quine-McCluskey;

• Ferramentas de software etc.

Simplificações:

Fatoração

Circuitos e expressões Booleanas

Qual o circuito para a seguinte expressão booleana?

S=(A.B.C) + ((A+B) . C)

Qual a expressão Booleana do seguinte circuito?

S1= A.B

S=S1+C

Logo S=A.B+C

Qual a expressão Booleana do seguinte circuito?

A.B

C’

(C.D)’

Logo:

S=A.B+C’+(C.D)’

EXERCÍCIOS

Simplifique algebricamente as funções booleanas abaixo:

S = A.B.C’ + A’.B’.C + A.B.C + A’.B.C + A’.B.C’

Resposta: A’.C + B

S = A.B.C’.D + A’.B’.C.D’ + A.B.C’.D’ + A’.B.C.D’ + A.B.C.D’ + A.B’.C.D’ + A.B.C.D

Resposta: A.B.(C’ + D) + CD’

S = B’D’ + A’ + A.B’C’D + AB’CD + A’C’

Resposta: A’ + B’