Exercício 5 - Modelagem de Pesquisa Operacional

Uma fabricante de bebidas possui dois centros de produção: um em Ribeirão Preto- SP e outro em Cariacica-RJ. A empresa deseja planejar qual a melhor forma de atender a demanda para a próxima semana, de mercados consumidores em três capitais: São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro. O custo unitário de se transportar 1 fardo de bebida de cada centro de produção a cada mercado consumidor é dado na tabela a seguir, juntamente com as demandas de cada mercado e as quantidades disponíveis em cada centro de produção:

Custos (R$/unidade)	SP	BH	RJ	Disponível
Ribeirão Preto	3,70	4,30	6,10	1100
Cariacica	9,80	6,90	2,10	1800
Demanda (unidade)	960	510	895

A empresa deseja determinar como atender a demanda de cada mercado consumidor, minimizando os gastos totais com transporte.

Solução:

·         Variáveis de Decisão

Para definirmos nossas variáveis de decisão, é importante observarmos primeiramente que não estamos preocupados em uma decisão que afeta um único elemento do nosso problema.

Por exemplo, nos problemas anteriores, cada variável de decisão estava relacionada a um dado produto ou ingrediente e, assim, a um único elemento do problema. Agora, nossa decisão está relacionada a quanto transportar de um ponto (centro de produção) até outro (mercado consumidor). Assim, cada variável de decisão se relaciona com dois elementos distintos do problema, um ponto de origem e outro de destino. Em casos assim, é comum termos dois índices definindo a variável, um para cada elemento, como definido a seguir:

xij : quantidade a ser transportada da origem i até o destino j, com i = 1; 2 e j = 1; 2; 3.

Neste caso i=1 indica Ribeirão Preto enquanto i=2 indica Cariacica e para os índices j=1 refere-se a São Paulo, j=2 Belo Horizonte, e j=3 Rio de Janeiro.

Portanto:

x11: quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até São Paulo

x12: quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até Belo Horizonte

x13: quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até Rio de Janeiro

x21: quantidade a ser transportada de Cariacica até São Paulo

x22: : quantidade a ser transportada de Cariacica até Belo Horizonte

x23: : quantidade a ser transportada de Cariacica até Rio de Janeiro

·         Restrições:

As restrições nesse problema advêm dos recursos escassos de cada centro de produção. Assim,

x11 + x12 + x13 <= 1100

x21 + x22 + x23 <= 1800

Ademais, cada mercado consumidor exige certa demanda, deste modo temos que garantir que a quantidade a ser transportada para cada consumidor, seja igual a demandada pelo mesmo.

x11 + x21 = 960

x12 + x22 = 510

x13 + x23 = 895

Não-negatividade: x11; x12; x13; x21; x22; x23 >= 0

·         Função Objetivo:

Neste caso a função objetivo do problema é conseguir distribuir a mercadoria com o menor custo possível, assim multiplica-se o custo unitário a quantidade a ser transportada em cada consumidor.

3,7x11 + 9,8x21 + 4,3x12 + 6,9x22 + 6,1x13 + 2,1x23

Obtemos por fim a seguinte Programação linear para o problema:

Mínimo:               3,7x11 + 9,8x21 + 4,3x12 + 6,9x22 + 6,1x13 + 2,1x23

s.a. (sujeito a):      x11 + x12 + x13 <= 1100

                            x21 + x22 + x23 <= 1800

                            x11 + x21 = 960

                            x12 + x22 = 510

                            x13 + x23 = 895

                            x11; x12; x13; x21; x22; x23 >= 0