Exercício 4 - Modelagem de Pesquisa Operacional

Uma indústria alimentícia deseja produzir um novo sabor de barra de cereais. Os requisitos nutricionais exigem que as barras tenham certas quantidades mínimas e máximas de certos nutrientes principais, sendo: no mínimo 22% de fibra e 7% de proteína; e no máximo 55% de carboidrato e 8% de gorduras. Para produzir as barras, a indústria usará como ingredientes, farinha de cereais, mel, soja e banana. As proporções de nutrientes em cada ingrediente, bem como os custos por quilograma de cada ingrediente são apresentados na tabela a seguir:

	Ingredientes
Nutrientes	Cereais	Mel	Soja	Banana	Barra
Fibra	0,26	0,01	0,25	0,10	0,22
Proteína	0,05	0,05	0,26	0,02	0,07
Carboidrato	0,60	0,75	0,45	0,24	0,55
Gorduras	0,07	-	0,01	0,01	0,08
Custos (R$/Kg)	5,20	6,80	7,10	2,50

A indústria deseja determinar em que quantidades os ingredientes devem ser misturados de modo a produzir 1 kg da barra de cereais que satisfaça às restrições nutricionais e tenha custo mínimo.

Solução:

·         Variáveis de Decisão:

x1: quantidade de cereal para 1Kg da mistura

x2: quantidade de mel para 1Kg da mistura

x3: quantidade de soja para 1Kg da mistura

x4: quantidade de banana para 1Kg da mistura

                                       

·         Restrições:

-Restrições quanto às quantidades máximas e mínimas de cada nutriente:

0,26x1 + 0,01x2 + 0,25x3 + 0,10x4 >= 0,22

0,05x1 + 0,05x2 + 0,26x3 + 0,02x4 >=0,07

0,60x1 + 0,75x2 + 0,45x3 + 0,24x4 <=0,55

0,07x1 + 0,01x3 + 0,01x4 <= 0,08

-Restrição quanto a quantidade a ser produzida da mistura:

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

-Restrição quanto a não-negatividade:

x1 >= 0

x2 >= 0

x3 >= 0

x4 >= 0

·         Função Objetivo:

O objetivo do problema é minimizar os custos dos ingredientes, tal que o custo é dado por:

5,20x1 + 6,80x2 + 7,10x3 + 2,50x4

Dessa forma, obtemos a Programação Linear resultante:

Min 5,20x1 + 6,80x2 + 7,10x3 + 2,50x4

s.a. (sujeito a)

0,26x1 + 0,01x2 + 0,25x3 + 0,10x4 >= 0,22

0,05x1 + 0,05x2 + 0,26x3 + 0,02x4 >=0,07

0,60x1 + 0,75x2 + 0,45x3 + 0,24x4 <=0,55

0,07x1 + 0,01x3 + 0,01x4 <= 0,08

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, x4 >= 0